Cinem�tica

Movimiento curvil�neo

Magnitudes cinem�ticas

Tiro parab�lico

Composici�n de
movimientos

Apuntar un ca��n para
dar en un blanco fijo

Bombardear un blanco
m�vil desde un avi�n

Tiros frontales 
a canasta

Alcance m�ximo en el
plano horizontal

Alcance m�ximo en el
plano inclinado

Otros m�ximos

Disparo de un proyectil
contra un blanco m�vil

Barro que se desprende
de una rueda

Tiro parab�lico y
movimiento circular

Torpedo a la caza de
un submarino

Actividades

Alcance horizontal y altura m�xima

Referencias

En este programa, se estudia un caso particular de movimiento curvil�neo, el tiro parab�lico, que es la composici�n de dos movimientos:

• Uniforme a lo largo del eje X.
• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

 Para resolver un problema de tiro parab�lico es necesario seguir los siguientes pasos

1.-Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y

2.-Determinar el valor y el signo de la aceleraci�n vertical

3.-Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo)

4.-La posici�n inicial

5.-Escribir las ecuaciones del movimiento

6.-A partir de los datos, hallar las inc�gnitas

Descripci�n

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un �ngulo q  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son Como el tiro parab�lico es la composici�n de dos movimientos: movimiento rectil�neo y uniforme a lo largo del eje X uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleraci�n constante de la gravedad son:

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuaci�n de la trayectoria, que tiene la forma y=ax² +bx +c, lo que representa una par�bola.

Obtenemos la altura m�xima, cuando la componente vertical de la velocidad v_y es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Actividades

Resolver num�ricamente los siguientes problemas y comprobar la soluci�n con el programa interactivo

1.-Un avi�n en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y el desplazamiento horizontal de la bomba.

2.-Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 m/s. Calcular la m�xima altura y el alcance horizontal.

3.-Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura.

4.-Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s, y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo.

5.-Un ca��n dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un �ngulo de 30� por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar tambi�n la altura m�xima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial).

Se introduce en los controles de edici�n

• la altura inicial y₀.
• la componente v_x de la velocidad inicial
• la componente v_y de la velocidad inicial

Se pulsa el bot�n titulado Empieza. Se observa el movimiento de de la part�cula y la trayectoria que describe. En la parte superior del applet, se muestran los valores de su posici�n x, e, y de su velocidad v_x y v_y, seg�n va transcurriendo el tiempo t.

Se puede detener el movimiento en cualquier momento, pulsando en el bot�n titulado Pausa, o se puede observar el movimiento paso a paso, pulsando varias veces en el bot�n titulado Paso. Para reanudar el movimiento, se pulsa en el bot�n titulado Continua que es el mismo que el bot�n Pausa.

Por ejemplo, cuando el m�vil est� a punto de alcanzar la altura m�xima, se pulsa el bot�n Pausa y luego, varias veces en el bot�n Paso, hasta que alcanza dicha altura (observar que la velocidad vertical v_y es cero). Luego, se pulsa en el bot�n Continua, para que se reanude el movimiento. Cuando est� a punto de regresar al origen, se pulsa el bot�n Pausa y luego, varias veces en el bot�n Paso hasta que la y se haga cero. Finalmente, se pulsa Continua hasta que desaparece el m�vil de la ventana del applet.

Alcance horizontal y altura m�xima

En el applet se trazan las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v₀ pero con los siguientes �ngulos de tiro q : 10�, 20�, 30�, 40�, 45�, 50�, 60�, 70�, 80�, 90�.

 Las ecuaciones del movimiento de los proyectiles son

x=v₀�cosq �t
y=v₀�senq �t-g�t²/2

La par�bola de seguridad

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor m�ximo se obtiene para q =45�, teniendo el mismo valor para q =45+a , que para q =45-a . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con �ngulos de tiro de 40� y 60�, ya que sen(2�40)=sen(2�60).

La altura m�xima que alcanza un proyectil se obtiene con v_y=0.

Su valor m�ximo se obtiene para el �ngulo de disparo q =90�.

La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo �ngulo de disparo est� comprendido entre 0 y 180� se denomina par�bola de seguridad.

Esta denominaci�n hace referencia al hecho de que fuera de esta par�bola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v₀.

Se trata de la par�bola sim�trica respecto del eje Y de ecuaci�n y=-ax²+b que pasa por los puntos (x=v₀²/g, y=0), y (x=0, y=v₀²/(2g)) tal como se ve en la figura.

La ecuaci�n de dicha par�bola es

Deducci�n alternativa de la ecuaci�n de la par�bola de seguridad

Las ecuaciones param�tricas de la trayectoria son

x=v₀�cosθ�t
y=v₀�senθ�t-gt²/2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuaci�n de la trayectoria

Esta ecuaci�n se puede escribir de forma alternativa

Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuaci�n de la trayectoria y puede ocurrir

1. Que la ecuaci�n de segundo grado en tanθ no tenga ra�ces reales. El punto P₁ no podr�a ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial v₀.

2. Que la ecuaci�n de segundo grado tenga dos ra�ces reales, lo que implicar� que el punto P₂ es accesible, y que hay dos �ngulos de tiro θ₁ y θ₂ que dan en el blanco P₂. En la figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos trayectorias.

3. Cuando la ra�z de la ecuaci�n de segundo grado es doble θ₁=θ₂. Como vemos en la figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P₃ dado de la envolvente.

Para que las ra�ces sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante b²-4ac de la ecuaci�n de segundo grado ax²+bx+c=0 sea nulo.

Esta es la ecuaci�n de la envolvente que hemos obtenido anteriormente.

La elipse que une las posiciones de altura m�xima

La altura m�xima se alcanza cuando v_y=0, en el intante t=v₀�senθ/g. La posici�n (x_h, y_h) del proyectil en este instante es

Teniendo en cuenta, la relaci�n trigonom�trica 1-cos(2θ)=2sen²θ

Despejando sen(2θ) en la primera ecuaci�n, cos(2θ), en la segunda, elevando al cuadrado y sumando, eliminamos el �ngulo 2θ.

Esta ecuaci�n representa una elipse centrada en el punto (0, b) cuyos semiejes son 2b y b

La semidistancia focal c y la excentricidad e valen, respectivamente.

La excentricidad es un valor constante que no depende de ning�n par�metro del movimiento.

Actividades

Se introduce la velocidad inicial de los proyectiles en el control de edici�n titulado Velocidad inicial.

Se pulsa el bot�n titulado Empieza

Se representa las trayectorias que siguen los proyectiles disparados con �ngulo de tiro q : 10�, 20�, 30�, 40�, 45�, 50�, 60�, 70�, 80�, 90�.

En la parte superior derecha del applet se muestra el alcance de cada uno de los proyectiles.

El lector puede calcular, el alcance, la altura m�xima y el tiempo de vuelo de un proyectil para algunos de los �ngulos de tiro especificados y en especial, el que corresponde a 45�,  y comparar sus resultados con los proporcionados por el programa interactivo.